Kurt Gödel

Kurt Friedrich Gödel was een Oostenrijks-Amerikaans wiskundige, logicus en filosoof. Hij wordt gezien als een van de belangrijkste logici aller tijden.

Inleiding Gödel heeft een enorme invloed gehad op het wetenschappelijke en filosofische denken van de 20e eeuw, doordat hij het eerdere werk van Bertrand Russell, A. N. Whitehead en David Hilbert om de wiskunde op een formele basis van een sluitend overkoepelend axiomatisch systeem te grondvesten, in belangrijke mate ondergroef.Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Gearchiveerd op 15 juli 2023.

In 1931 bewees Gödel namelijk dat binnen elk zelfconsistent recursief axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen te beschrijven (Peano-rekenkunde), er ten minste een ware stelling over de natuurlijke getallen bestaat, die niet bewezen kan worden op basis van de axioma's van dit systeem. Bij de bewijsvoering van deze stelling ontwikkelde Gödel een techniek die tegenwoordig bekendstaat als de Gödel-nummering, die aan elke formele uitspraak een natuurlijk getal toekent. Deze stelling staat bekend als de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel.

In zijn tweede onvolledigheidsstelling toonde Gödel later aan dat de continuümhypothese niet weerlegd kan worden binnen de consistente axioma’s van de verzamelingenleer. Gödel leverde verder belangrijke bijdragen aan de bewijstheorie door de verbanden te verduidelijken tussen de klassieke logica, de intuïtionistische logica, en de modale logica.

Leven Jeugd Kurt Friedrich Gödel werd geboren op 28 april 1906 in Brno, destijds in Oostenrijk-Hongarije, in het etnisch Duitse gezin van Rudolf Gödel, bedrijfsleider van een textielfabriek en Marianne Gödel (geboren Handschuh).Dawson 1997, pp. 3-4 Ten tijde van zijn geboorte had de stad een kleine meerderheid Duitstalige inwoners, en dat was de taal van zijn ouders.Dawson 1997, p. 12 De voorouders van Gödel speelden vaak een actieve rol in het culturele leven van Brno. Zijn grootvader, Joseph Gödel was bijvoorbeeld in die tijd een beroemde zanger en een aantal jaren lid van de "Brünner Männergesangverein".Procházka 2008, pp. 30–34.

In het gezin stond de jonge Gödel bekend als Herr Warum ("Meneertje Waarom"), vanwege zijn onverzadigbare nieuwsgierigheid. Volgens zijn broer Rudolph leed Gödel toen hij acht jaar was aan acuut reuma; hij genas volledig, maar bleef er voor de rest van zijn leven van overtuigd dat zijn hart blijvende schade had opgelopen. Deze overtuiging was de oorsprong van zijn latere hypochondrie.Dawson 1997, p.11

Van 1912 tot 1916 bezocht Gödel de Evangelische Volksschule, een Lutherse school in Brno en van 1916 tot 1924 stond hij ingeschreven aan het Deutsche Staats-Realgymnasium waar hij in alle vakken uitblonk, vooral in wiskunde, talen en godsdienst. Hoewel Gödel aanvankelijk in talen had uitgeblonken, kreeg hij later meer belangstelling voor geschiedenis en wiskunde.

Hoewel hij zelf maar heel weinig Tsjechisch sprak, werd Gödel op de leeftijd van 12 jaar, automatisch Tsjecho-Slowaaks staatsburger, toen aan het eind van de Eerste Wereldoorlog het Oostenrijks-Hongaarse rijk uiteenviel, waarna onder andere het nieuwe land Tsjecho-Slowakije ontstond. Later vertelde hij zijn biograaf John W. Dawson dat hij zich in die tijd voelde als een “verbannen Oostenrijker in Tsjecho-Slowakije” ("ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei"). Toen hij 23 was koos hij ervoor om Oostenrijks staatsburger te worden. Gödel werd toen nazi-Duitsland Oostenrijk annexeerde, op de leeftijd van 32 automatisch Duits staatsburger. Na de Tweede Wereldoorlog, toen hij 42 was, werd hij Amerikaans staatsburger.

Zijn belangstelling in wiskunde nam nog toe toen in 1920 zijn oudere broer Rudolph (geboren in 1902) naar Wenen vertrok om medicijnen te gaan studeren aan de Universiteit van Wenen. Gedurende zijn tienerjaren bestudeerde Gödel de Gabelsberger stenografie, Goethe's Kleurentheorie, de kritieken van Isaac Newton, en de geschriften van Immanuel Kant.

Studie in Wenen Toen hij 18 was, voegde hij zich bij zijn broer Rudolph in Wenen en schreef zich in bij de Universiteit van Wenen. Tegen die tijd was hij het universitaire wiskundeniveau al meester. Hoewel hij aanvankelijk van plan was om theoretische natuurkunde te studeren, woonde Gödel ook wiskunde- en filosofiecolleges bij. Gedurende die periode maakte hij zich ideeën over het wiskundig realisme eigen. Hij las Kants Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, en nam deel aan de Wiener Kreis met Moritz Schlick, Hans Hahn en Rudolf Carnap. Gödel bestudeerde toen de getaltheorie, maar nadat hij deel had genomen aan een cursus van Moritz Schlick, die Bertrand Russells boek Introduction to Mathematical Philosophy behandelde, raakte Gödel geïnteresseerd in wiskundige logica.

Het is mogelijk dat het bijwonen van een voordracht door David Hilbert in Bologna over volledigheid en consistentie van wiskundige systemen, de levensloop van Gödel heeft bepaald. In 1928 publiceerden Hilbert en Wilhelm Ackermann Grundzüge der theoretischen Logik (Grondslagen van de Theoretische Logica), een inleiding tot de logica van de eerste orde, waarin het volledigheidsprobleem aan de orde werd gesteld: Zijn de axioma’s van een formeel systeem voldoende om daar elke bewering uit af te leiden, die waar is in alle modellen van het systeem? Dat werd het onderwerp dat Gödel koos voor zijn promotie. In 1929, toen hij 23 was, voltooide hij zijn dissertatie onder supervisie van Hans Hahn. Daarin bepaalde Gödel de volledigheid van de predikaatanalyse van de eerste orde (dit resultaat staat bekend als de volledigheidsstelling van Gödel). Hij behaalde zijn doctorstitel in 1930. Zijn proefschrift werd, samen met wat toevoegingen, gepubliceerd door de Weense Academie voor Wetenschappen.

Werk in Wenen thumb|Gedenkplaat in Wenen, Josefstaedter straße 28 In 1931 publiceerde Gödel zijn beroemde onvolledigheidsstellingen in "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Over formeel onbeslisbare stellingen van de Principia Mathematica en aanverwante systemen”). In dat artikel bewees hij voor elk berekenbaar axiomatisch systeem, dat krachtig genoeg is om de rekenkunde van de natuurlijke getallen (dat wil zeggen de axioma's van Peano of ZFC) te bevatten, dat: Als het systeem consistent is, kan het niet volledig zijn. (Dat is gewoonlijk bekend als de onvolledigheidsstelling.) De consistentie van de axioma’s kan niet bewezen worden binnen het systeem. Deze stellingen maakten een eind aan een halve eeuw van inspanningen door wiskundigen om een verzameling axioma’s te ontdekken die voor de hele wiskunde zouden voldoen, te beginnen met het werk van Gottlob Frege en culminerend in Alfred North Whitehead en Bertrand Russells Principia Mathematica en Hilberts formalisme. Gödel bewees dat deze speurtocht achteraf gezien zinloos was, althans in de zin om het beoogde doel te bereiken, hoewel er ook belangrijke nieuwe wiskunde ontwikkeld werd door de deelnemende wiskundigen. De onvolledigheidsstellingen houden ook in dat niet alle wiskundige vraagstukken berekenbaar zijn en sommige dus altijd open zullen blijven.

Achteraf is het oorspronkelijke idee, dat de kern vormt van de onvolledigheidsstelling, vrij eenvoudig. In wezen construeerde Gödel een formule die stelt dat zij in een gegeven formeel systeem onbewijsbaar is. Als zij bewijsbaar zou zijn, zou zij onwaar zijn, wat in tegenspraak is met het feit dat in een consistent systeem bewijsbare beweringen altijd waar zijn. Daarom zal er altijd minstens een ware, maar onbewijsbare bewering bestaan. Dat wil zeggen voor elke berekenbaar aftelbare axiomaverzameling voor de rekenkunde (dat wil zeggen een verzameling die in principe geprint kan worden door een geïdealiseerde computer met onbeperkte hulpbronnen), bestaat er een formule die geldig is in de rekenkunde, maar in dat systeem niet bewijsbaar is. Om dat kloppend te maken moest Gödel echter verschillende technische kwesties oplossen, zoals coderingssystemen, bewijzen en het idee van de bewijsbaarheid bij natuurlijke getallen. Hij deed dat met gebruikmaking van het procedé dat bekendstaat als Gödelnummering.

In zijn tweepaginalange "Zum intuitionistischen Aussagenkalkül" (1932) weerlegde Gödel eindige-waardigheid van de intuïtionistische logica. In het bewijs maakt hij gebruik van wat later bekend werd als de Gödel–Dummett tussen-logica (of Gödels vage logica).

Gödel verwierf in 1932 zijn habilitatie aan de Universiteit van Wenen en in 1933 werd hij daar privaatdocent (ongesalarieerd docent).

Onrust in Oostenrijk en bezoeken aan de VS In 1933 kwam in Duitsland Adolf Hitler aan de macht en in de daarop volgende jaren kregen de nazi’s meer invloed in Oostenrijk en ook onder sommige Weense wiskundigen. Eveneens in 1933 reisde Gödel voor het eerst naar de VS; daar ontmoette hij Albert Einstein die sinds de machtsovername door de nazi's niet meer in Duitsland wilde wonen en nu permanent in de VS verbleef. Einstein werd een levenslange goede vriend van Gödel. Hij hield een toespraak op de jaarlijkse bijeenkomst van de American Mathematical Society. Tijdens dat jaar ontwikkelde Gödel zijn ideeën over de berekenbaarheid van recursieve functies, en hield een lezing over de algemene recursieve functies en het idee 'waarheid'. Dit werk werd verder ontwikkeld in de getaltheorie, waarbij gebruik werd gemaakt van de Gödelnummering. In 1934 gaf Gödel een serie lezingen aan het Institute for Advanced Study (IAS) in Princeton, New Jersey, met de titel Over onbeslisbare stellingen van formele wiskundige systemen. Stephen Kleene, die net op Princeton zijn Ph.D. had behaald, maakte een verslag van die lezingen, die vervolgens werden gepubliceerd.

Gödel wilde in het najaar van 1935 opnieuw een bezoek brengen aan het IAS. Het reizen en harde werken hadden hem echter uitgeput en hij moest zijn reisplannen uitstellen; het jaar daarop kwam het er ook niet van maar moest hij herstellen van een depressie. De aanleiding voor deze depressie was de dood van een goede vriend van hem: in juni 1936 werd Moritz Schlick, wiens seminar bij Gödel de belangstelling had gewekt voor de logica, vermoord door een pro-nazi-student. Dat was bij Gödel aanleiding tot “een ernstige zenuwcrisis.”. From p. 80, which quotes Rudolf Gödel, Kurt's brother and a medical doctor. The words "a severe nervous crisis", and the judgement that the Schlick assassination was its trigger, are from the Rudolf Gödel quote. Rudolf knew Kurt well in those years. Hij ontwikkelde paranoïde verschijnselen, waaronder de angst om vergiftigd te worden en bracht een aantal maanden door in een sanatorium voor zenuwzieken.Dawson 1997, pp. 110-112 In 1937 hervatte hij zijn colleges. In die periode werkte hij aan het bewijs van de consistentie van het keuzeaxioma en van de continuümhypothese; hij toonde voorts aan dat deze hypothesen niet weerlegd kunnen worden vanuit het gebruikelijke systeem van axioma’s van de verzamelingenleer.

Hij huwde op 20 september 1938 met Adele Nimbursky (geboren Porkert, 1899-1981), die hij toen al meer dan 10 jaar kende. Zijn ouders hadden zich tegen hun relatie verzet op grond van het feit dat zij een gescheiden danseres was en zeven jaar ouder was dan hij. Zij kregen geen kinderen.

Vervolgens vertrok hij opnieuw voor een bezoek aan de VS, bracht het najaar van 1938 door aan het IAS en het voorjaar van 1939 aan de Amerikaanse privé universiteit Universiteit van Notre Dame.

Princeton