frame|right|Een laurentreeks is gedefinieerd ten opzichte van een punt en een integratieweg die in een ring (hier rood) moet liggen, waarbinnen de functie analytisch is
De laurentreeks van een complexe functie is in de wiskunde een voorstelling van als een machtreeks met eventueel ook termen met een negatieve macht. Een laurentreeks kan soms toegepast worden als een taylorreeks niet bestaat. De reeks is genoemd naar Pierre Alphonse Laurent, die hem in 1843 introduceerde.
Definitie De laurentreeks van een complexe functie in het punt is de machtreeks
waarin de coëfficiënten gegeven worden door de kringintegraal
over een gesloten contour tegen de klok in. De contour moet een rectificeerbaar pad zijn dat zichzelf niet snijdt, het punt in zijn inwendige bevatten, en in een ringvormig gebied liggen waarbinnen analytisch is. De ontwikkeling van geldt overal binnen de genoemde ring.
In de praktijk blijken de integralen vaak moeilijk te berekenen, en maakt men gebruik van bekende taylorontwikkelingen om de laurentreeks samen te stellen.
Voorbeeld Om in het punt de laurentreeks van de functie
te bepalen, moeten de integralen
over een contour om berekend worden. Direct is te zien dat:
en ,
die weer als meetkundige reeks geschreven kan worden:
Daarmee wordt, na vermenigvuldiging met 1/(z - i), de laurentreeks
Zie ook Z-transformatie
Externe links Laurent Series Module by John H. Mathews Laurent Series and Mandelbrot set by Robert Munafo
Categorie:Complexe analyse Categorie:Wiskundige reeks