Een operatie of bewerking in de wiskunde en de logica is in de primaire vorm van zijn betekenis een actie of procedure die uit een aantal invoerwaarden (operanden) een nieuwe waarde produceert. Bewerkingen met één invoerwaarde en met twee invoerwaarden, de unaire en de binaire operaties, komen het meest voor. Unaire operaties zijn operaties op een enkele operand. Voorbeelden zijn de ontkenning en goniometrische functies. Binaire operaties werken met twee operanden. Voorbeelden van binaire operaties zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen. De waarden die worden gecombineerd worden operanden, argumenten of inputparameters genoemd, de geproduceerde waarde de waarde, het resultaat of de outputparameter.
Operaties kunnen behalve op getallen ook uitgevoerd worden op wiskundige objecten. De logische waardes waar en onwaar kunnen door logische operaties, zoals en, of, en niet worden gecombineerd. Vectoren kunnen worden opgeteld en afgetrokken. Rotaties in drie dimensies kunnen uit rotaties om de drie coördinaatassen worden gecombineerd. De operaties op verzamelingen omvatten onder andere vereniging en doorsnede, maar ook de unaire operatie van het complement van een verzameling. Operaties op functies zijn bijvoorbeeld compositie en convolutie.
Operaties kunnen betrekking hebben op ongelijksoortige objecten. Een vector kan worden vermenigvuldigd met een scalair om als resultaat een andere vector te vormen. Het inwendige product van twee vectoren resulteert daarentegen weer in een scalair. Een operatie kan al of niet bepaalde eigenschappen hebben, bijvoorbeeld associatief of commutatief zijn.
Een operatie lijkt op een operator, maar het gezichtspunt is anders. Als men uitgaat van de operanden en het resultaat, spreekt men van de optellingsoperatie, maar wanneer men op het proces, of vanuit een meer abstract gezichtspunt op een functie focust, heeft men het over de opteloperator.
Definitie Een operatie is een functie van de vorm . De verzamelingen worden de domeinen van de operatie genoemd. De verzameling heet het codomein van de operatie en het vaste niet-negatieve getal , het aantal argumenten, wordt de plaatsigheid van de operatie genoemd. Een unaire operatie heeft dus plaatsigheid één en een binaire operatie heeft plaatsigheid twee. Een operatie met plaatsigheid nul wordt een nullaire operatie of constante genoemd en is eenvoudig een element van het codomein . Een operatie van plaatsigheid wordt een -aire operatie genoemd. Een -aire operatie is dus een -aire relatie, die functioneel is op zijn eerste domeinen.
Dit wordt vaak een finitaire operatie genoemd, waar finitair betekent dat het aantal argumenten van de operatie eindig is. Wanneer de plaatsigheid gelijk is aan een oneindige ordinaal of kardinaal, of zelfs een willekeurige verzameling die de argumenten indexeert, zullen er complicaties optreden.
Domein en bereik Het domein is vaak een macht van het codomein, maar dit is niet altijd nodig. en , A Course in Universal Algebra, 1981. definities 1.1, Cursus in universele algebra, Springer
Niet voor elke waarde van een operand kan een operatie worden gedefinieerd. In de reële getallen kan men bijvoorbeeld niet delen door nul of wortels trekken uit negatieve getallen. De waardes waarvoor een operatie is gedefinieerd vormen een verzameling die het domein wordt genoemd. De verzameling die de resultaten bevat wordt het codomein genoemd, terwijl de verzameling van werkelijke waarden die zijn verkregen door het uitvoeren van de operatie het bereik vormen. In de reële getallen resulteert de operatie kwadrateren bijvoorbeeld alleen in niet-negatieve getallen. Het codomein is in dit geval echter de verzameling van reële getallen, terwijl het bereik zich beperkt tot de niet-negatieve getallen.
Notatie / operatie / resultaat Voorbeelden van notatie / operatie / resultaat: plusteken / sommatie, optellen / som minteken / aftrekking, aftrekken / verschil maalteken / vermenigvuldiging, vermenigvuldigen / product deelteken / deling, delen / quotiënt functiesymbool / functie, de functie toepassen / functiewaarde verenigingssymbool / vereniging / vereniging
Categorie:Relaties op verzamelingen Categorie:Wiskundige schrijfwijze