In de groepentheorie, een onderdeel van de algebra, bestaat de speciale lineaire groep uit de vierkante matrices met determinant 1. Het zijn dus de volumebehoudende lineaire transformaties.
Definitie Zij een commutatief lichaam (Ned) / veld (Be). De speciale lineaire groep in dimensies over , genoteerd , bestaat uit de vierkante -matrices met elementen in waarvan de determinant 1 is. De groepsbewerking is de matrixvermenigvuldiging.
Als een vierkante matrix determinant 1 heeft, dan heeft die matrix een inverse matrix. Hieruit volgt dat een deelverzameling is van de algemene lineaire groep , de inverteerbare vierkante matrices met elementen in . Bovendien is de determinant van een product van vierkante matrices gelijk aan het product van hun determinanten, zodat de deelverzameling stabiel blijft onder matrixvermenigvuldiging en onder het nemen van inversen. Het is dus een ondergroep van .
Voorbeelden
De reële speciale lineaire groep is de groep van de volumebehoudende lineaire transformaties van de -dimensionale ruimte. Vierkante -matrices kunnen worden opgevat als lineaire transformaties van de -dimensionale vectorruimte . Bij reële vierkante matrices is de determinant gelijk aan het georiënteerde volume van de getransformeerde eenheidskubus, maar de determinant van de matrices in is 1.
Als een eindig lichaam / eindig veld is met elementen, dan is een eindige groep. Zo heeft bijvoorbeeld steeds elementen.
en zijn een lie-groep. De overeenkomende dimensies ervan zijn en .
Projectieve speciale lineaire groep De scalaire veelvouden van de eenheidsmatrix met determinant 1 vormen een normaaldeler van . Deze is niet-triviaal als het getal 1 een niet-triviale -demachtswortel heeft in het lichaam . Bijvoorbeeld: in de reële getallen heeft 1 twee verschillende vierkantswortels, 1 zelf en -1. De groep heeft een normaaldeler die bestaat uit de twee matrices en
De bijhorende factorgroep is de projectieve speciale lineaire groep in dimensies over . Deze factorgroep wordt genoteerd met .
Overige De Franse wiskundige Serge Lang heeft een boek geschreven met de titel als verwijzing naar zijn eigen initialen.
Categorie:Groepentheorie