Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (Sint-Petersburg, – Halle, 6 januari 1918) was een Russisch-Duitse wiskundige, die bekendstaat als de grondlegger van de moderne verzamelingenleer.
Cantor stelde als eerste het belang van bijecties tussen verzamelingen vast. Hij definieerde de welgeordende- en oneindige verzamelingen. Hij formaliseerde en verdiepte de wiskundige kennis over het begrip oneindigheid. Zo bewees hij dat de reële getallen "talrijker" zijn dan de natuurlijke getallen. In feite impliceert zijn stelling van Cantor het bestaan van een hiërarchisch geordende "oneindigheid van oneindigheden". Hij definieerde verder de kardinaalgetallen, de ordinaalgetallen en hun rekenkunde. Cantors werk is van enorm filosofisch belang, een feit waar hij zich volledig van bewust was.
Behalve om zijn werk op het gebied van de verzamelingenleer staat Cantor ook bekend om zijn werk op het gebied van de unieke representatie van functies door middel van goniometrische reeksen (een veralgemening van de Fourierreeks).
Biografie thumb|left|Georg Cantor rond 1870
Cantor werd geboren in Sint-Petersburg als de zoon van een in deze Russische stad opgegroeide, van oorsprong Deense, lutherse beurshandelaar, Georg Waldemar Cantor, en een Russische, van Oostenrijkse afkomst zijnde, katholieke musicienne, Maria Anna Böhm. Een van zijn oudooms was de bekende violist Joseph Böhm. In 1856, Cantor was toen elf jaar oud, verhuisde het gezin omwille van de gezondheidstoestand van zijn vader naar Duitsland. Cantor haalde in 1860 zijn middelbareschooldiploma aan de Realschule in Darmstadt. In 1862 studeerde hij aan het polytechnisch Instituut in Zürich, vandaag de dag de Eidgenössische Technische Hochschule Zürich. Nadat hij na het overlijden van zijn vader in 1863 in het bezit was geraakt van een aanzienlijk fortuin, verlegde Cantor zijn studies naar de Universiteit van Berlijn, waar hij onder andere colleges volgde bij Leopold Kronecker, Karl Weierstrass en Ernst Kummer.
De zomer van 1866 bracht hij door aan de Universiteit van Göttingen. In 1867 promoveerde hij aan de Universiteit van Berlijn met een proefschrift over een onderwerp uit de getaltheorie, "De aequationibus secundi Gradus indeterminatis". Nog in hetzelfde jaar werd hij aangesteld als privaatdocent aan de Universiteit van Halle. Hij zou zijn verdere leven aan deze universiteit verbonden blijven. In 1872 werd hij er tot buitengewoon hoogleraar, in 1879 tot gewoon hoogleraar wiskunde benoemd.
De universiteit van Halle gold niet als een van de prestigieuze Europese universiteiten. Dat Cantor geen positie kreeg aan een onderzoeksinstelling met meer faam kan voor een deel worden toegeschreven aan de revolutionaire aard van zijn inzichten die hem naast medestanders ook critici opleverden; bovendien was zijn persoonlijkheid enigszins stroef in het omgaan met de overtuigingen van anderen.Gerard Buskes en Arnoud van Rooij, "Topological Spaces - From Distance to Neighborhood," Springer Undergraduate Texts in Mathematics 1997.
In 1874 trouwde Cantor met Vally Guttmann, die een vriendin van Cantors zus was. Ze kregen zes kinderen, van wie de laatste in 1886 geboren werd. Hij verdiende niet veel als academisch hoogleraar maar zijn geërfde familiekapitaal stelde hem in staat zijn gezin goed te onderhouden.
Gedurende de tweede helft van zijn leven leed hij in toenemende mate aan depressies die soms verergerden tot paranoïde waandenkbeelden, waardoor zijn productiviteit verminderde en hij regelmatig moest worden opgenomen in een psychiatrisch ziekenhuis. De aanvankelijke kritiek van veel wiskundigen op Cantors radicale nieuwe denkbeelden, vooral op zijn uitbreiding van de verzamelingenleer, hadden mede een negatieve uitwerking op zijn geestesgesteldheid. Hij raakte soms het spoor bijster. Zo publiceerde hij een verificatie van het vermoeden van Goldbach voor alle gehele getallen onder de 1000, terwijl enkele decennia eerder reeds een verificatie voor de getallen tot 10 000 gepubliceerd was. Hij begon te publiceren over literatuur en probeerde te bewijzen dat Francis Bacon de werkelijke auteur was van de werken van Shakespeare. Hij publiceerde over religie en ontwikkelde zijn concept van het 'absoluut oneindige' dat hij gelijkstelde aan God. Gedurende de Eerste Wereldoorlog verloor hij zijn financieel kapitaal en het laatste jaar van zijn leven was hij permanent opgenomen in een psychiatrische instelling in Halle waar hij in 1918 overleed.
Wiskundig werk Cantors werk tussen 1874 en 1884 staat aan de basis van de verzamelingenleer.Johnson 1972, blz. 55. Voorafgaand aan Cantors werk was het concept van een verzameling een nogal elementair concept dat sinds het vroegste begin van de wiskunde impliciet werd gebruikt maar verder niet grondig onderzocht was. Het idee van een verzameling gaat terug op de ideeën van Aristoteles.Deze paragraaf is een zeer verkorte samenvatting van de impact van Cantors levenswerk. Meer details en referenties komt u verderop in dit artikel tegen. Niemand had zich gerealiseerd dat de verzamelingenleer een niet-triviale inhoud had. Vóór Cantor was er alleen sprake van eindige verzamelingen (deze zijn relatief gemakkelijk te begrijpen) en werd "het oneindige" als een goed onderwerp voor filosofische, religieuze en niet wiskundige discussies beschouwd maar dat voor de wiskunde niet veel belang had. Door Cantors bewijs dat er (oneindig) veel mogelijke groottes voor oneindige verzamelingen bestaan, toonde hij aan dat de verzamelingenleer allesbehalve triviaal was, maar in detail moest worden bestudeerd. De verzamelingenleer is gaandeweg de rol van de grondslag van de moderne wiskunde gaan spelen, in die zin dat het proposities over wiskundige objecten (bijvoorbeeld getallen en functies) uit alle traditionele gebieden van de wiskunde (zoals algebra, analyse en topologie) in één enkele theorie interpreteert en daarnaast een standaard verzameling aanbiedt om axioma's te bewijzen of te weerleggen. De basisconcepten van de verzamelingenleer worden nu door de gehele wiskunde heen gebruikt.
In een van zijn vroegste artikelen bewees Cantor dat de verzameling van reële getallen "talrijker" is dan de verzameling van natuurlijke getallen; dit liet voor de eerste keer zien dat er oneindige verzamelingen van verschillende grootte bestaan, sommige oneindige verzamelingen zijn groter dan andere. Cantor was de eerste die het belang van de één-op-één-correspondenties in de verzamelingenleer inzag. Hij gebruikte dit concept om eindige- en oneindige verzamelingen te definiëren. Hierbij deelde hij de laatste op in "(af)telbare" (oneindige) verzamelingen en overaftelbare (oneindige) verzamelingenEen aftelbare verzameling is een verzameling die of eindig of aftelbaar is; de aftelbare verzamelingen zijn daarom de oneindig aftelbare verzamelingen. Deze terminologie wordt echter niet overal gevolgd, en soms wordt "denumerable" als een synoniem voor "aftelbaar" gebruikt.
Cantor introduceerde fundamentele constructies in de verzamelingenleer, zoals de machtsverzameling van een verzameling A, dat is de verzameling van alle mogelijke deelverzamelingen van A. Hij bewees later dat de grootte van de machtsverzameling van A strikt gezien groter is dan de grootte van A zelf, ook als A een oneindige verzameling is; dit resultaat raakte al snel bekend als de stelling van Cantor. Cantor ontwikkelde een hele theorie en bijbehorende rekenkunde van oneindige verzamelingen, die kardinalen en ordinalen werden genoemd. Zo breidde hij de rekenkunde van de natuurlijke getallen uit. Zijn notatie voor de kardinaalgetallen was de Hebreeuwse letter (alef) met een natuurlijk getal als subscript, voor de ordinaalgetallen gebruikte hij de Griekse letter ω (omega). Deze notatie is nog steeds in gebruik.
De door Cantor geïntroduceerde continuümhypothese werd in 1900 als de eerste van de drieëntwintig open problemen van Hilbert in diens beroemde rede op het Internationaal wiskundecongres in Parijs gepresenteerd. Cantors werk werd ook met instemming begroet buiten de kleine kring rondom Hilbert.Reid 1996, blz. 177 De Amerikaanse filosoof Charles Sanders Peirce prees de verzamelingenleer van Cantor, en, na afloop van openbare colleges door Cantor op het eerste Internationale Congres van Wiskundigen in Zürich in 1897 gaven Hurwitz en Hadamard beide uiting aan hun bewondering. Op dat congres hernieuwde Cantor zijn vriendschap en correspondentie met Richard Dedekind. Vanaf 1905 correspondeerde Cantor met zijn Britse bewonderaar en vertaler Philip Jourdain over de geschiedenis van de verzamelingenleer en over Cantors religieuze ideeën. Deze correspondentie werd later gepubliceerd, evenals een aantal van zijn werken, waar hij de verzamelingenleer nader uitlegde voor een groter publiek.
Getal- en functietheorie Cantors eerste tien artikelen hadden net als zijn proefschrift de getaltheorie als onderwerp. Op aandringen van Eduard Heine, zijn collega professor wiskunde in Halle, richtte Cantor zich daarna op de analyse. Heine drong er bij Cantor op aan een poging te wagen om een probleem op te lossen waarvoor Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann en Heine geen oplossing hadden kunnen vinden: de uniciteit van de weergave van een functie door middel van goniometrische reeksen. Cantor slaagde daar in 1869 wel in. Tussen 1870 en 1872 publiceerde hij, in aansluiting hierop, een aantal artikelen over goniometrische reeksen, waaronder één waarin hij een definitie gaf van irrationale getallen als convergente rijen van rationale getallen. Dit artikel werd door Dedekind, met wie Cantor in 1872 tijdens een vakantie in Zwitserland bevriend was geraakt, later dat jaar geciteerd, in Dedekinds beroemde artikel, waar hij voor het eerst de reële getallen door middel van Dedekind-sneden definieerde.
Verzamelingenleer Het begin van de verzamelingenleer als een deelgebied van de wiskunde wordt vaak gekenmerkt door de publicatie in 1874 van Cantors artikel, Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen (Over een eigenschap van het 'Inbegriff' van alle reële algebraïsche getallen)."Johnson blz. 55" Dit artikel dat Cantor met steun van Dedekind publiceerde in Crelle's Journal (dit ondanks oppositie van Kronecker), bevatte het eerste strikt geformuleerde bewijs dat er meer dan één vorm van oneindigheid bestaat. Dit bewijs vormt de kern van Cantors nalatenschap als wiskundige. Voorheen was men er impliciet van uitgegaan dat alle oneindige verzamelingen gelijkmachtig ("even talrijk") waren (dat wil zeggen van "dezelfde grootte" of met hetzelfde aantal elementen).Bepaalde meetkundige problemen die bijvoorbeeld werden gesteld door Galileo en John Duns Scotus leken er op te wijzen dat alle oneindige verzamelingen even talrijk waren - zie Moore 1995, blz. 114.