In de kansrekening en de statistiek is de verdelingsfunctie, ook aangeduid als cumulatieve (kans)verdelingsfunctie of cumulatieve distributiefunctieDe afkorting cdf komt van het Engelse cumulative distribution function. van een reëelwaardige stochastische variabele de functie waarmee de verdeling van de stochastische variabele wordt beschreven of vastgelegd. De verdelingsfunctie bestaat altijd en voor elke gebeurtenis die de stochastische variabele betreft, kan daarmee de kans op die gebeurtenis worden bepaald. Populair gezegd worden alle kansen betreffende de stochastische variabele bepaald door de verdelingsfunctie.
Elke functie die als verdelingsfunctie kan worden opgevat van een stochastische variabele, wordt ook verdelingsfunctie genoemd. Het betreft dan een functie met de hieronder aangeduide eigenschappen.
Definitie De verdelingsfunctie van de stochastische variabele op de kansruimte , is de functie , gedefinieerd voor door: .
Let op het verschil tussen en .
De waarde van de verdelingsfunctie van in het punt is dus de cumulatieve kans op waarden van kleiner dan of gelijk aan .
Eigenschappen Een verdelingsfunctie is een monotoon stijgende, rechtscontinue functie met domein en bereik , waarvoor geldt:
en
Rechtscontinu betekent:
Monotoon stijgend betekent:
De verdelingsfunctie en de kansdichtheid van een stochastische variabele zijn eeneenduidig door de vergelijking met elkaar verbonden:
Als de verdelingsfunctie absoluut continu is, dan is het de integraal van een kansdichtheid. Als de verdeling singulier is, dan is de verdelingsfunctie soms de integraal van een discrete kansfunctie. De verdeling is altijd de som van een absoluut continu en een singulier deel.
Van de bekende kansverdelingen bestaan tabellen, waarin meestal de verdelingsfunctie is getabelleerd. Uit zo'n tabel kan van die verdeling de linker overschrijdingskans worden afgelezen.
Voorbeeld Een willekeurig getal tussen 0 en 1 heeft de kansdichtheid: voor en 0 elders.
De bijbehorende verdelingsfunctie is:
Om de kans te bepalen dat tussen 0,33 en 0,44 ligt, berekenen we: .
Categorie:Kansrekening Categorie:Statistiek