In de rekenkunde verstaat men onder de restklasse modulo een positief geheel getal , de verzameling gehele getallen die bij deling door dezelfde rest opleveren. Deze rest wordt niet-negatief gekozen. De getallen in een bepaalde restklasse zijn dus per definitie congruent modulo . Twee gehele getallen horen dus tot dezelfde restklasse modulo dan en slechts dan als hun verschil een veelvoud is van .

In veel gevallen is een vast gekozen getal, en noteert men de restklasse waartoe het gehele getal behoort met een streepje boven de :

Er zijn precies verschillende restklassen modulo .

Voor de optelling geldt dat, als en congruent zijn modulo , en ook en congruent zijn modulo , dat dan ook en congruent zijn modulo . Hetzelfde geldt voor de vermenigvuldiging: en zijn congruent modulo .

Voorbeeld Zij . Er bestaan vijf verschillende restklassen modulo 5. Het gaat om de volgende vijf oneindige verzamelingen:

De restklasse

is geen nieuwe klasse, het is een andere schrijfwijze van de klasse .

Factorgroepen De restklassen modulo vormen in een commutatieve ring met een neutraal element.De deelring van de commutatieve ring is een ideaal, zodat we de factorring of quotiëntring kunnen beschouwen. In deze ring zijn niet noodzakelijk alle niet-triviale elementen omkeerbaar, met andere woorden: het is niet altijd een lichaam (Ned) / veld (Be). Dit is alleen het geval als een priemgetal is. Het bijzondere geval wordt gewoonlijk buiten beschouwing gelaten. In alle andere gevallen is de ring zelfs niet nuldelervrij: als als het product van twee natuurlijke getallen en kan worden geschreven, strikt genomen tussen 1 en , dan is

De omkeerbare elementen van , dus de elementen in die een invers element hebben, vormen een abelse groep voor de vermenigvuldiging van restklassen, genoteerd met .

De restklasse modulo waar het getal toe behoort, is de nevenklasse van ten opzichte van de ondergroep

van de groep van gehele getallen. Omdat de optelling van gehele getallen een abelse groep vormt, hoeven we geen onderscheid te maken tussen linker- en rechternevenklassen. De factorgroep definieert een commutatieve groepsbewerking op de verzameling van restklassen modulo . Dit is de eindige cyclische groep met elementen.

De stelling van Euler komt er op neer dat elk element in deze eindige groep, gezien als additieve groep een eindige orde heeft. Door een willekeurig gegeven element net zo vaak bij zichzelf op te tellen als er elementen in de hele groep zijn komt er het neutrale element uit. Het aantal elementen van deze groep, gezien als multiplicatieve groep is de indicator of het totiënt van , het aantal natuurlijke getallen tussen 0 en dat geen delers gemeenschappelijk heeft met .

De restklassen modulo zijn de partitieklassen die horen bij de equivalentierelatie is congruent met. Elk gehele getal behoort tot precies één restklasse modulo , namelijk, de klasse waar de rest van de geheeltallige deling van door toe behoort.

Categorie:Algebra