Cramérs V is een door de Zweedse wiskundige en statisticus Harald Cramér ontwikkelde associatiemaat voor twee categorische variabelen, dus variabelen die slechts op nominale schaal gemeten zijn.
De maat werd in 1946 door Cramér gepubliceerd in zijn boek Mathematical Methods of Statistics.Cramér, Harald. (1946). Mathematical Methods of Statistics. Princeton: Princeton University Press, blz. 282, . Cramérs V wordt soms ook Cramérs phi genoemd en aangeduid als .
Gebruik en interpretatie Cramérs V is een symmetrische maat. Dit betekent dat het niet uitmaakt welke variabele in de rijen en welke in de kolommen van de kruistabel wordt geplaatst. Ook de volgorde van de rijen en kolommen heeft geen invloed op de uitkomst, waardoor de maat geschikt is voor zowel nominale als ordinale variabelen.
De waarde van Cramérs V ligt altijd tussen 0 (geen enkele associatie; de variabelen zijn onafhankelijk) en 1 (volledige associatie). De waarde 1 wordt alleen bereikt wanneer de ene variabele volledig door de andere wordt bepaald.
In het specifieke geval van een 2 × 2 kruistabel is Cramérs V exact gelijk aan de absolute waarde van de phi-coëfficiënt ().
De p-waarde voor de statistische significantie van Cramérs V is exact dezelfde als de p-waarde die berekend wordt bij de bijbehorende Pearson chi-kwadraattoets.
Populatie De simultane verdeling van de beide variabelen en wordt gegeven door de kansen
De -grootheid die de simultane kansen vergelijkt met de kansen bij onafhankelijkheid, is:
Daarin is
en analoog
Bij statistische onafhankelijkheid tussen beide variabelen geldt: ;
dus:
Bij volledige samenhang tussen de beide variabelen zijn er evenveel rijen als kolommen ( ) en is (eventueel na herschikking):
en ,
zodat:
Voor de populatie is Cramérs V de parameter:
,
met een waarde minimaal 0 bij onderlinge onafhankelijkheid en maximaal 1 bij volledige samenhang.
Steekproef De parameter kan geschat worden op basis van een steekproef uit de simultane verdeling van de variabelen en . De steekproef is gegeven in de vorm van de kruistabel met rijen en kolommen en waargenomen frequenties van de uitkomsten . Een geschikte schatter is de steekproeffunctie, die ook aangeduid wordt als Cramérs V:
Daarin is de chi-kwadraatgrootheid:
,
met en respectievelijk de rij- en kolomsommen en de steekproefomvang, dus ook de totale som.
De steekproeffuncie kan ook gebruikt worden als toetsingsgrootheid.
Biascorrectie Cramérs V kan een sterk vertekende (gebiaseerde) schatter zijn van de werkelijke populatiewaarde en heeft de neiging om de sterkte van de associatie te overschatten. Een biascorrectie is ontwikkeld door Wicher Bergsma in 2013. Gebruikmakend van de eerder genoemde notaties, wordt de gecorrigeerde versie berekend als:
waarbij:
en
Hierbij is . Deze schat dezelfde populatiewaarde als de traditionele Cramérs V, maar met een doorgaans veel kleinere gemiddelde kwadratische fout (mean squared error).
In software In de programmeertaal R berekent de functie cramerV() uit het pakket rcompanion de standaard Cramérs V, maar deze biedt ook direct een optie om de bovengenoemde biascorrectie toe te passen.
Zie ook Kruistabel
Categorie:Associatiemaat Categorie:Statistiek