De 31-toonsverdeling in de muziek is de verdeling van het octaaf in 31 gelijke verhoudingen. Deze verdeling is geïntroduceerd door Christiaan Huygens, die de middentoonstemming als voorbeeld nam, maar daar het liefst een evenredige toonsverdeling van wilde maken. In een evenredige toonsverdeling kan namelijk naar believen gemoduleerd worden, zonder dat intervallen in de ene toonladder goed en in de andere anders of zelfs vals klinken. Net als de gangbare stemming is het systeem van Huygens dan ook een gelijkzwevende stemming.
Ontdekking De gedachte achter de 31-toonsverdeling is de verdeling van het octaaf in "gelijke" intervallen met toonhoogteverhouding , zodanig dat een aantal van van deze intervallen bij goede benadering een kwint vormen, en wel de kwint uit de 1/4-middentoonstemming. Deze kwint is:
Er moet dus gelden dat van de deelintervallen zo goed mogelijk benaderen:
of logaritmisch:
en ook, omdat deelintervallen een octaaf vormen: , dus
zodat:
Anders geschreven:
De opgave is dus gehele getallen en te vinden waarvan het quotiënt een goede benadering is van
Huygens is waarschijnlijk op het aantal 31 gekomen door van dit getal de kettingbreuk te bepalen. Daaruit kunnen de zogenaamde convergenten afgeleid worden, breuken van gehele getallen die successievelijk de kettingbreuk steeds beter benaderen. Die convergenten (benaderingen) zijn: {| class="wikitable" |- align=center ||| waarde |- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center
|- align=center |limiet|| |} De breuk 7/12 geeft een verdeling in 12 delen en levert de gelijkzwevende temperatuur. De kwint daarin wordt gevormd door een stapeling van 7 van de 12 delen. Een mooiere benadering geeft een verdeling in 31 delen, wat qua aantal nog acceptabel is. Beter kan ook, maar dan is een verdeling in 174 intervallen nodig. Ook de 19-toonsstemming duikt op, als goede benadering, maar duidelijk minder goed dan de verdeling in 31 delen.
Daar een octaaf een frequentieverhouding heeft van 1 : 2, heeft elk van de 31 deelintervallen in deze toonverdeling een frequentieverhouding van . Het is Huygens goed gelukt de middentoonskwint te benaderen. In cents heeft de middentoonskwint een waarde van cent
en de kwint van de 31-toonsverdeling een waarde van: cent.
Uitwerking thumb|90px|right|Monochord Huygens realiseerde zijn 31-toonsstemming met behulp van een monochord.
Hij verdeelde de snaar van het monochord in gedachten in 100 000 gelijke eenheden. De snaar was zo gestemd dat hij over de volle lengte trillend de toon C liet horen. Plaatst men de kam op de helft van de snaar, dan hoort men weer een toon c, maar een octaaf hoger. Hier tussenin liggen dan alle 31 tonen van de toonsverdeling.
Daar de verhouding van twee opeenvolgende tonen is en Huygens wilde werken met toonverschillen, berekende hij de logaritme hiervan, uitkomend op . Deze afstand heeft hij vervolgens bij de logaritme van 50 000, zijn beginpunt (hij begon immers op de helft van de kamlengte), opgeteld. Doe je dit 31 keer, dan kom je op 5, de logaritme van 100 000, uit.
Huygens heeft dit in een tabel uitgewerkt met alle logaritmen op een nauwkeurigheid van 10 decimalen, wat opzienbarend is vooral gezien de mogelijkheden in zijn tijd.
Toonnamen In het 31-toonssysteem wordt de hele toon (grote secunde) niet verdeeld in halve tonen, maar in vijf kleine diëzen. Er treden dus onvermijdelijk problemen op met de nomenclatuur. Meestal worden de extra tonen benoemd naar analogie van het kwarttoonsysteem. Een toon die één diëze hoger klinkt dan de c wordt ci genoemd, twee diëzen of een overmatige prime hoger wordt cis, drie diëzen of een kleine secunde hoger een des (cis en des zijn niet gelijk aan elkaar; dit is inherent aan het systeem), vier diëzen hoger een deh en vijf diëzen hoger een d.
Het begin van de toonladder van c luidt dus: c–ci–cis–des–deh–d–di–dis–es–eh–e–ei–feh–f–...
Net zoals in andere gelijkzwevende stemmingen kent de 31-toonsverdeling een aantal enharmonische tonen. Deze zijn echter heel anders dan bij de gangbare 12-toonsstemming. Zo-even bleek al dat cis en des niet aan elkaar gelijk zijn. Wel enharmonisch zijn:
ci en deses deh en cisis di en eses eh en disis ei en fes feh en eis fi en geses | geh en fisis gi en ases ah en gisis ai en beses beh en aisis bi en ces ceh en bis
31-toonsorgel
Adriaan Fokker ontwierp een 31-toonsorgel met een alternatief toetsenbord. Dit instrument werd in 1950 geïnstalleerd in het Teylers museum te Haarlem. Onder anderen Henk Badings schreef muziek voor dit muziekinstrument. Sinds 2009 staat het in het Muziekgebouw aan 't IJ te Amsterdam.
Zie ook Breukgetal Stemming (muziek) Microtonale muziek
Externe link Stichting Huygens-Fokker, Centrum voor microtonale muziek
Categorie:Muziektheorie Categorie:Stemming (muziek) Categorie:Uniek orgel