In de functietheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het residu dat bij een singulariteit van een meromorfe functie hoort, een zeker complex getal dat direct verband houdt met een contourintegraal van de functie om de singulariteit. Met behulp van de residustelling kunnen residuen gebruikt worden voor de berekening van reële, bepaalde, maar oneigenlijke integralen.
Definitie Het residu van een meromorfe functie in een geïsoleerde singulariteit , vaak aangeduid als
is het unieke complexe getal zodanig dat
een analytische primitieve functie heeft in een cirkelring
Laat een geïsoleerde singulariteit zijn van , en een kleine cirkel met de klok mee georiënteerd met middelpunt zodanig dat differentieerbaar is op en het inwendige van , met uitzondering van zelf. Dan is: ,
dus is
Berekening Residuen kunnen uitgaande van de Laurentreeks van een functie worden berekend. Het residu is gelijk aan de coëfficiënt van de term met macht −1 in de reeksontwikkeling van de genomen variabele. Laat de laurentontwikkeling van in het punt zijn, dan is het residu van in , genoteerd als: .
voor enkelvoudige singulariteiten
en voor -voudige singulariteiten
Als er meerdere singulariteiten binnen een gesloten pad liggen, worden de residuen bij elkaar opgeteld. Ook wordt een residu zo vaak meegeteld als het aantal keren dat het pad om de singulariteit heen draait.
Rekenregels Regel 1
Stel heeft een singulariteit in en is holomorf in , dan is:
Voorbeeld De functie
kan geschreven worden als het product van de functies
en
Hieruit volgt, dat in het punt geldt:
Regel 2 Stel , maar . Dan heeft in een pool van de orde 1, en is het residu in gelijk aan .
Voorbeeld De functie met functiewaarde heeft in het punt een pool van de orde 1. Het residu in dat punt is dus .
Categorie:Complexe analyse