Het zijn veeltermen die, wanneer hun variabele gelijk is aan het aantal toegevoegde machten, de som berekenen van machten met rekenkundige grondslagen en constante exponenten. Het probleem is dus om deze veeltermen zo te vinden dat

een veelterm is als functie van n die afhankelijk is van de parameters met en gehele niet-negatieve getallen, de eerste term van een rekenkundige reeks en verschil van dezelfde progressie, zijnde en elk reëel getal of complex getal

zijn de polynomen geïdentificeerd door de formule van Faulhaber postuum gepresenteerd door Jacob Bernoulli in 1713; Jacob Bernoulli, Ars Conjectandi, 1713

zijn de veeltermen die alleen verschillen van de vorige in het teken van een monoom van graad ;Dit hangt af van het feit dat, die, voor , in transformeert.

zijn de veeltermen door sommen van machten van opeenvolgende oneven getallen.

Methode met matrices Voor elke positieve wordt het algemene geval opgelost met de volgende formule: waar

met en . waarbij (rij), (kolom) en (matrixvolgorde) gehele getallen zijn. Giorgio Pietrocola, Binomial matrices for polynomials calculating sums of powers with bases in arithmetic progression, Academia.edu, 2019

Voorbeelden De formule in het bijzondere geval wordt :

En in het speciale geval van , wordt de som van de eerste opeenvolgende oneven getallen berekend.

Het berekenen van de matrix T(h,d), waarvan de elementen het binomium van Newton volgen met de toegewezen waarden, d.w.z. T(1,2), en het vinden van de inverse matrix van de onderste driehoekige matrix A verkregen uit de besloten driehoek van Pascal van het laatste element van elke rij (matrix gevormd uit de Bernoulli-getallen, weergegeven in rood), hebben we :

Door de rijen met de kolommen van de twee matrices te vermenigvuldigen, krijgen we

en dus

.

Als we alleen rekening houden met de eerste drie toevoegingen, hebben we:

Op dezelfde manier, omdat

hebben we:

Methode met Bernoulli polynomen De volgende formule lost het probleem impliciet op met behulp van Bernoulli polynomen:

András Bazsó, István Mező, On the coefficients of power sums of arithmetic progressions ,Journal of Number Theory, v. 153, pp 117-123, 2015

Voorbeelden In het bijzonder:

Bernoulli polynomen De eerste Bernoulli polynomen zijn:

.

.

.

Voetnoten

Categorie:Veelterm