In de vlakke meetkunde vraagt het einstein-probleem naar het bestaan van een enkele prototegel die op zichzelf een aperiodieke verzameling prototegels vormt, dat wil zeggen een vorm die de ruimte kan betegelen, maar alleen op een niet-periodieke manier. Zo'n vorm wordt een einstein genoemd, een woordspeling op ein Stein, Duits voor 'één steen'. Dat is hetzelfde als de naam van de bekende natuurkundige Albert Einstein.
Afhankelijk van de definitie van niet-periodiciteit, van de voorwaarden die aan de vorm van de tegels wordt opgelegd en welke regels er voor het leggen gelden, is het probleem open of opgelost. Het einstein-probleem kan worden gezien als een natuurlijke uitbreiding van het tweede deel van het achttiende probleem van Hilbert, dat vraagt om een enkel veelvlak dat de euclidische 3-ruimte vult, maar zodanig dat geen mozaïekpatroon door dit veelvlak isohedraal is. Dergelijke tegels waarvan alle zijvlakken dezelfde vorm hebben zijn in 1928 door Karl Reinhardt gevonden, maar deze tegels vullen de ruimte allemaal op een periodieke manier.
Voorgestelde oplossingen rechts|miniatuur|De Socolar-Taylor-tegel is een voorgestelde oplossing voor het einstein-probleem. rechts|miniatuur| Een van de oneindige familie van Smith-Myers-Kaplan-Goodman-Strauss-tegels. Gele tegels zijn de gespiegelde versies van de blauwe tegels.
Peter Schmitt heeft in 1988 een enkele aperiodieke prototegel ontdekt in de driedimensionale euclidische ruimte. Hoewel geen enkele betegeling door deze prototegel een translatie als symmetrie toelaat, hebben sommige een schroefsymmetrie. De schroefbewerking omvat een combinatie van een translatie en een rotatie over een irrationeel veelvoud van , dus een aantal herhaalde bewerkingen levert nooit een zuivere translatie op.
Deze constructie werd vervolgens door John Conway en Ludwig Danzer uitgebreid tot een convexe aperiodische prototegel, de gyrobifastigium. De aanwezigheid van de schroefsymmetrie resulteerde in een herevaluatie van de vereisten voor niet-periodiciteit. Chaim Goodman-Strauss stelde voor een tegelwerk sterk aperiodiek te noemen als er in de oneindige cyclische groep euclidische bewegingen als symmetrieën toelaat, en dat alleen verzamelingen tegels die een sterke aperiodiciteit afdwingen sterk aperiodiek worden genoemd, terwijl andere verzamelingen zwak aperiodiek moeten worden genoemd.
Petra Gummelt ontwierp in 1996 een gemarkeerde tienhoekige tegel en toonde aan dat wanneer twee soorten overlappingen tussen paren tegels zijn toegestaan, de tegels het vlak kunnen bedekken, maar alleen niet-periodiek. Een betegeling wordt meestal opgevat als een bedekking zonder overlappingen, en daarom wordt de Gummelt-tegel niet als een aperiodieke prototegel beschouwd.
Een aperiodieke tegelverzameling in het euclidische vlak die uit maar één tegel bestaat – de Socolar-Taylor-tegel – werd begin 2010 voorgesteld door Joshua Socolar en Joan Taylor. Deze constructie vereist bijpassende regels, regels die de relatieve oriëntatie van twee tegels beperken en die verwijzen naar decoraties die op de tegels zijn getekend, en deze regels zijn van toepassing op paren van niet-aangrenzende tegels. Als alternatief kan een onversierde tegel zonder bijpassende regels worden geconstrueerd, maar de tegel is niet verbonden. De constructie kan worden uitgebreid tot een driedimensionale, verbonden tegel zonder bijpassende regels, maar deze tegel staat betegelingen toe die periodiek in één richting zijn, dus maar zwak aperiodiek. Bovendien wordt de tegel niet zomaar aangesloten.
In 2022 ontdekte amateur David Smith een hoedvormige tegel gevormd uit acht exemplaren van een vliegervorm van 60°-90°-120°-90°, aan de randen samengevoegd, die het vlak alleen aperiodiek leek te betegelen. Smith vroeg de hulp van wiskundigen Craig S. Kaplan, Joseph Samuel Myers en Chaim Goodman-Strauss, en in 2023 plaatste de groep een voordruk die bewees dat de hoed, samen met zijn spiegelbeeld, een aperiodieke prototegel-set vormt. Bovendien kan de hoed worden gegeneraliseerd naar een oneindige familie van tegels met dezelfde aperiodische eigenschap. Hun bewijs wacht op een peer-review en formele publicatie.
In mei 2023 werd door hetzelfde team ook een Einstein tegel ontdekt die zichzelf niet als spiegelbeeld nodig heeft om een aperiodiek patroon te vormen. Deze tegel kreeg de naam 'spectre'.
Bronvermelding
Categorie:Meetkunde Categorie:Onopgelost probleem in de wiskunde