De stelling van Ostrowski is een stelling uit de getaltheorie die zegt dat elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen equivalent is met ofwel de gebruikelijke absolute waarde of met een -adische absolute waarde. De stelling werd in 1916 bewezen door Alexander Ostrowski.
Definitie Voor elk priemgetal is de -adische absolute waarde gedefinieerd door:
Equivalentie Twee absolute waarden en op een verzameling zijn equivalent, als voor alle geldt:
Voor absolute waarden op een lichaam is deze eis gelijkwaardig met het bestaan van een reële constante , zo, dat voor alle geldt:
Stelling Elke niet-triviale absolute waarde op de rationale getallen is equivalent met de absolute waarde of met een -adische absolute waarde .
Bewijs Er worden twee gevallen onderscheiden: Er is een met Voor alle is
Geval 1 Er is een met . Nu is en , zodat , dus .
Zij met . Schrijf -tallig:
met en
Dan is dus
Maar
Nu is en
dus
Dus
Als , volgt
zodat
Samen met blijkt dus dat voor elke keuze van (anders zou , zodat ). Bijgevolg moet voor iedere gelden .
Dus is voor alle :
of herschreven
Uit symmetrie volgt dan gelijkheid.
Omdat willekeurig zijn, is er een constante waarvoor
d.w.z.
voor alle .
Dus is ook voor alle , waarmee de equivalentie is aangetoond.
Geval 2 Voor alle is . Maar dan is er een priemgetal , en dat is het enige, waarvoor . Stel namelijk dat voor het priemgetal ook geldt dat .
Kies dan zo, dat en . Volgens het algoritme van Euclides zijn er gehele getallen waarvoor . Dan volgt
wat een tegenspraak inhoudt.
Elke is het product van priemgetallen, dus:
,
met en als niet deelbaar is door .
Maar dan is ook voor alle
dus is equivalent met een -adische absolute waarde.
Ostrowski Categorie:Getaltheorie