In de meetkunde is een polaire ruimte een wiskundige structuur die sterk verwant is aan een projectieve ruimte. Aanvankelijk bestudeerde de Nederlandse wiskundige Ferry Veldkamp de deelstructuren van projectieve ruimten bepaald door de absolute punten van orthogonale, hermitische en symplectische polariteiten en ontdekte daartussen overeenkomsten. Polaire ruimten zijn later beschreven aan de hand van vier axioma's door Jacques Tits en op een equivalente manier door F. Buekenhout en E. Shult. Een belangrijke deelklasse van polaire ruimten wordt gevormd door de gegeneraliseerde vierhoeken. Voor alle andere polaire ruimten is er een algebraïsche klassering.
Formele definitie De volgende definitie van polaire ruimte is afkomstig van Tits:
Zij een verzameling waarvan we de elementen punten noemen, en zij een familie van deelverzamelingen van . Dan is een polaire ruimte van rang , met , als voldaan is aan de volgende vier axioma's:
(PR1) Elk element van vormt samen met alle elementen van bevat in , een projectieve ruimte van dimensie ten hoogste . (PR2) De verzameling is gesloten onder het nemen van doorsnedes. (PR3) Als en , met , dan is de vereniging van alle elementen van met dimensie 1 die bevatten en een niet-ledige doorsnede hebben met een element van met dimensie dat snijdt in een hypervlak van . (PR4) Er bestaan twee disjuncte elementen van , beide van dimensie .
Het gebruik van de dimensie van een element van in (PR3) en (PR4) is gerechtvaardigd door (PR1). Elke van die elementen is een projectieve ruimte en heeft zo een dimensie die we kunnen overnemen.
We noemen twee punten collineair indien ze beiden op een rechte liggen.
Singuliere deelruimten Men kan bewijzen dat de verzameling precies de verzameling is van alle singuliere deelruimten:
Een deelruimte van een polaire ruimte is een deelverzameling van met de eigenschap dat, indien twee verschillende collineaire punten tot behoren, dan ook elke rechte die deze punten bevat behoort tot . Een deelruimte wordt singulier genoemd als elke twee punten van deze deelruimte collineair zijn.
Stel dat een element is van en dat en twee verschillende punten zijn van . Dan volgt uit (PR1) dat er een rechte door en bestaat, die in ligt en tevens een element is van . Dus en zijn collineair. Omdat twee collineaire punten van een polaire ruimte een unieke rechte bepalen, volgt nu dat een singuliere deelruimte is.
De omgekeerde richting volgt eenvoudig uit de volgende stelling:
Zij een verzameling van twee aan twee collineaire punten. Dan is bevat in een element van van dimensie .
Als een singuliere deelruimte is van , dan is wegens bovenstaande stelling bevat in een element van van dimensie . Dus is een (projectieve) deelruimte van , die door (PR1) behoort tot .
De zonet gebruikte stelling levert ook nog het volgende gevolg:
Zij en met . Als collineair is met een voortbrengende verzameling punten van , dan is een element van dat bevat als een hypervlak. In het bijzonder is collineair met alle punten van .
Tot slot, kunnen door de bovenstaande bespreking de elementen van gewoon als singuliere deelruimten benoemd worden:
De maximale singuliere deelruimten zijn de elementen van van dimensie . De submaximale singuliere deelruimten zijn de elementen van van dimensie .
Merk op dat elke singuliere deelruimte bevat is in een maximale singuliere deelruimte. Dit verklaart de naam "maximale singuliere deelruimte".
"één-of-alle''-axioma Een bijzonder eigenschap voor polaire ruimten is de volgende:
Voor elk punt en elke rechte niet door geldt ofwel dat er juist één punt op collineair is met , ofwel dat alle punten op collineair zijn met . Dit wordt dan ook gebruikt in de definitie hieronder als het "een-of-alle"-axioma van Buekenhout en Shult. Deze eigenschap is een bijzonder geval van de volgende stelling die hieronder ook bewezen wordt. De notatie staat voor alle punten die collineair zijn met .
Als en , dan is ofwel gelijk aan ofwel een hypervlak van , en .
Merk op dat dat dit een lichte veralgemening is van (PR3), die toelaat dat .
Het bewijs is als volgt: Als collineair is met alle punten van , dan volgt dit eenvoudig uit het gevolg uit de vorige subsectie. Dus nu veronderstellen we dat niet collineair is met alle punten van . De singuliere deelverzameling is bevat in een maximale singuliere deelruimte , waarin niet bevat is. Uit (PR3) volgt nu dat een hypervlak is van en dus is ook een hypervlak van . Opnieuw wegens het gevolg uit vorige subsectie volgt dat .
Formele definitie (Buekenhout en Shult) Polaire ruimten kunnen ook beschreven worden enkel op basis van de punten en rechten als Buekenhout-Shultruimten.
We vertrekken vanuit een punt-rechte meetkunde, i.e. een koppel waarbij de elementen van de verzameling de punten zijn en de verzameling bestaat uit deelverzamelingen van de puntenverzameling . We onderstellen hierbij ook dat elk element van , die we rechten zullen noemen, minstens twee punten bevat en niet ledig is.
We definiëren de incidentiegraaf op de volgende manier: het is de bipartiete graaf met als toppenverzameling de verzameling van punten en rechten, en waarbij twee toppen adjacent zijn als de corresponderende objecten incident zijn.
We zeggen dat er geen repeterende rechten zijn indien geen twee dezelfde verzamelingen bevat.
Een Buekenhout-Shultruimte is een punt-rechte meetkunde zonder repeterende rechten die aan de volgende axioma's voldoet.
(BS1) Elke rechte heeft ten minste drie punten. (BS2) Geen enkel punt is collineair met elk ander punt. (BS3) Elke genestelde familie van singuliere deelruimten is eindig. (BS4) Voor elk punt en elke rechte niet door geldt ofwel dat er juist één punt op collineair is met , ofwel dat alle punten op collineair zijn met .
Deze beschrijving bekijkt polaire ruimten op een fundamentelere manier. Er wordt nog geen gebruik gemaakt van projectieve ruimten of andere sterke structuren.
Indien we algemener een punt-rechtemeetkunde bekijken die (enkel) voldoet aan (BS4), het een-of-alle axioma, wordt dit een Shultruimte genoemd.
Men kan eenvoudig bewijzen dat indien men twee niet collineaire punten neemt, dan alle punten die collineair zijn met beide, en de rechten die volledig collineair zijn met beide opnieuw een Buekenhout-Shultruimte vormen indien hier minstens één rechte in bevat is. Hieruit kan men aantonen dat door elke twee collineaire punten juist één rechte gaat.
Equivalentie van definities Men kan aantonen dat deze beide definities voor polaire ruimten dezelfde structuren definiëren.
Elke polaire ruimte is een BS-ruimte Als de rechtenverzameling is van een polaire ruimte , dan is de punt-rechtemeetkunde een Buekenhout-Shultruimte. Om dit te bewijzen gaan we de vier axioma's na:
(BS1) volgt uit het feit dat de rechten van ofwel rechten zijn in een projectieve ruimte van dimensie ten minste 2 (indien de rang minstens 3 is) ofwel per definitie verzamelingen zijn van ten minste 3 punten. (BS2) volgt uit de theorie van overstaandheid van singuliere deelruimten in polaire ruimten. (BS3) volgt uit het gekende feit dat maximale singuliere deelruimten van elementen van zijn en dus per definitie een eindige dimensie hebben. (BS4) bewezen we eerder.
Elke BS-ruimte komt overeen met een polaire ruimte
Singuliere deelruimten vormen projectieve ruimten Om te bewijzen dat elke Buekenhout-Shultruimte overeenkomt met een polaire ruimte moet eerst bewezen worden dat elke singuliere deelverzameling hiervan een projectieve ruimte is. We maken hiervoor gebruik van de karakterisering van Veblen en Young voor projectieve ruimten:
Een punt-rechtemeetkunde is de meetkunde van punten en rechten van een projectieve ruimte van dimensie ten minste 2 als en slechts als voldaan is aan:
(PM1) Elke rechte heeft ten minste drie punten. (PM2) Door elk paar verschillende punten gaat een unieke rechte. (PM3) Er bestaan drie punten die niet op één gemeenschappelijke rechte gelegen zijn. (PM4) (Axioma van Pasch) Als vier verschillende punten zijn waarvoor de rechten en snijpunten hebben, dan hebben ook de rechten en een snijpunt.
Elke singuliere deelruimte van een Buekenhout-Shultruimte voldoet aan (PM1) en (PM2) omdat deze gelden in de Buekenhout-Shultruimte. Indien de singuliere deelruimte groter is dan een rechte, kan men gebruik maken van de volgende eigenschap van Buekenhout-Shultruimten: Voor elke rechte en elk punt niet op , bestaat er een punt collineair met en collineair met elk punt van . Een constructie aan de hand hiervan bewijst (PM4).
Nagaan axioma's polaire ruimten Uit het voorgaande volgt dat (PR1) en (PR2) al gelden als we kijken naar de punten en singuliere deelruimten van een Buekenhout-Shultruimte.
(PR3) Hiervoor kijken we naar de singuliere deelruimten die niet strikt bevat zijn in een andere singuliere deelruimte. Deze moeten apart steeds voldoen aan de eigenschap van (PR3), want anders zouden we toch een grotere singuliere deelruimte kunnen construeren. Op eenzelfde manier kan men bewijzen dat deze singuliere deelruimten ook allemaal dezelfde dimensie hebben.
(PR4) Dit kan men bewijzen via inductie. Voor neemt men twee niet collineaire punten en gebruikt men de inductiehypothese op de punten collineair met beide.
Eigenschappen Elke polaire ruimte, met uitzondering van dunne grids, heeft een orde zodat elke rechte precies punten bevat en er door elke submaximale singuliere deelruimte exact maximale singuliere deelruimten gaan (in deze orde kunnen en ook oneindige kardinalen zijn). Men noemt een polaire ruimte dik als .
Enkele eigenschappen van een polaire ruimte van rang en orde :
Het aantal singuliere deelruimten van dimensie , is Gegeven een punt zijn er steeds punten die daar niet collineair mee zijn. Gegeven een maximale singuliere deelruimte zijn er steeds maximale singuliere deelruimten die daar niet collineair mee zijn. Als eindig is: Voor elke verzameling van ten hoogste punten bestaat er steeds een punt dat met geen enkel van de punten collineair is.
Voorbeelden
Gegeneraliseerde vierhoeken Polaire ruimten van rang 2, met dus enkel punten en lijnen, zijn dunne gegeneraliseerde vierhoeken. Omgekeerd is elke (dikke) gegeneraliseerde vierhoek een dikke polaire ruimte.
We schetsen hoe gegeneraliseerde vierhoeken voldoen aan de axioma's uit de definitie volgens Tits:
(PR1), (PR2) Er zijn alleen punten en lijnen, en twee rechten snijden elkaar hoogstens in één punt. (PR3) Voor elke lijn en punt niet op die lijn is er een uniek punt op collineair met . (PR4) Er bestaan twee disjuncte lijnen.
Gegeneraliseerde vierhoeken vormen een belangrijke deelstructuur van gegeneraliseerde veelhoeken\footnote{link} waar ook projectieve vlakken als gegeneraliseerde driehoeken in bevat zijn.
GQ(2,2)
Rechten en vlakke stralenwaaiers van PG Uitgaande van een 3-dimensionale projectieve ruimte, , over een lichaam kunnen we een Buekenhout-Shult ruimte definiëren als volgt: vormt de verzameling rechten van voor en de verzameling van alle vlakke stralenwaaiers, i.e. alle rechten door een punt in een gemeenschappelijk vlak, van . Zoals eerder vermeld is dit equivalent met een polaire ruimte volgens de eerste definitie.
Elk element van is duidelijk een verzameling van minstens twee elementen van en is niet ledig.
We overlopen de axioma's:
(BS1) Aangezien een lichaam is en elke vlakke stralenwaaier bevat is in een projectief vlak over bevatten deze duidelijk minstens drie rechten. (BS2) In , als projectieve ruimte, bestaat er voor elke rechte steeds een rechte die er niet mee in een vlak gelegen is. (BS3) De singuliere deelruimten in stijgende dimensie die opduiken komen overeen met de volgende deelverzamelingen van : De ledige verzameling De rechten De vlakke stralenwaaiers van De stralenvelden, i.e. alle rechten in een vlak, en de stralenshoven, i.e. alle rechten door een punt, van
Een geneste familie bestaat dus hoogstens uit vier elementen.