In de wiskundige statistiek is de fisherinformatie van een familie kansdichtheden een grootheid die informatie geeft over de kwaliteit van parameterschattingen. De grootheid is genoemd naar de Britse statisticus Ronald Aylmer Fisher.
Definitie Eenparametrisch model Zij een familie kansdichtheden, geparametriseerd door , met een open verzameling.
De fisherinformatie is gedefinieerd als de verwachtingswaarde van het kwadraat van de score voor de uitkomst :
en ,
waarin de kansdichtheid heeft.
Onder bepaalde regulariteitsvoorwaarden is de verwachtingswaarde van de score gelijk aan 0, zodat de fisherinformatie dan ook gelijk is aan de variantie van de score:
Meerdere parameters Als de parameter meerdimensionaal is: , is de fisherinformatiematrix de generalisatie van de fisherinformatie. Deze is gedefinieerd als de symmetrische matrix met als elementen:
Voorbeelden Discrete verdelingen In het geval van een discrete verdeling betreft het dichtheden ten opzichte van de telmaat, dus kansfuncties.
Binomiale verdeling Voor de binomiale verdeling met parameters en succeskans geldt:
Er geldt: ,
zodat de fisherinformatie is:
Poissonverdeling Voor de poissonverdeling met parameter geldt:
Ook is weer:
De fisherinformatie is dus:
Continue verdelingen Exponentiële verdeling Voor de exponentiële verdeling met parameter geldt:
Er geldt weer:
De fisherinformatie is dus:
Normale verdeling Voor de normale verdeling met parameters 0 en geldt:
Er geldt weer:
De fisherinformatie is dus:
Vat men als parameter op, dan geldt:
Ook dan is:
zodat
Als de verwachtingswaarde gelijk is aan geldt voor deze parameter:
Weer is
en is:
Voor het parameterpaar geldt: ,
zodat de fisherinformatiematrix gelijk is aan:
Zie ook Cramér-Rao-ongelijkheid
Categorie:Kansrekening Categorie:Statistiek Categorie:Informatietheorie