thumb|Dit Togliatti-oppervlak is een algebraïsch oppervlak van graad vijf.
Algebraïsche meetkunde is een deelgebied van de wiskunde dat technieken uit de abstracte algebra, vooral de commutatieve algebra, combineert met de taal en de problemen van de meetkunde. Algebraïsche meetkunde neemt een centrale plaats in de moderne wiskunde in en heeft verschillende verbindingen met uiteenlopende gebieden als de functietheorie, topologie en getaltheorie. Als er meer dan een variabele is, komt de meetkunde eraan te pas. Het onderwerp van de algebraïsche meetkunde is het oplossen van vergelijkingen, maar het gaat verder dan het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen. De betrokken vergelijkingen zijn niet noodzakelijk lineaire vergelijkingen, maar mogen ook polynomiale vergelijkingen in meer variabelen zijn. Het gaat er in de algebraïsche meetkunde zowel om om algemene methoden te verzinnen, als om oplossingen voor specifieke problemen te vinden.
Het fundamentele studieobject in de algebraïsche meetkunde zijn algebraïsche variëteiten. Dat zijn wiskundige structuren die zijn bedacht bij het zoeken naar oplossingen van systemen van veeltermvergelijkingen. De algebraïsche meetkunde en niet-lineaire algebra zijn zo met elkaar verbonden. Algebraïsche vlakkrommen, waaronder lijnen, cirkels, parabolen, lemniscaten en ovalen van Cassini, vormen een van de best bestudeerde klassen van algebraïsche variëteiten. Een punt in het vlak behoort bij een algebraïsche kromme, indien zijn coördinaten voldoen aan een gegeven veeltermvergelijking. Fundamentele vragen gaan over de relatieve positie van de verschillende krommen en de relaties tussen de krommen, die door verschillende vergelijkingen gegeven worden.
De algebraïsche meetkunde vindt nu toepassing in de statistiek, de meet- en regeltechniek, de robotica, foutverbeterende codes, de fylogenetica en meetkundige modellering. Er zijn ook verbindingen naar de snaartheorie, de speltheorie, het matchen van grafen, solitonen en geheeltallige programmering. Google Scholar laat honderden studies over de algebraïsche meetkunde zien op de gebieden van de biologie, de scheikunde, de economie, de natuurkunde en natuurlijk ook in andere deelgebieden van de wiskunde.
Geschiedenis Voor de 19e eeuw Sommige van de fundamenten van de algebraïsche meetkunde gaan terug tot werk dat werd gedaan in het klassieke Griekenland uit de 5e eeuw v.Chr. Het Delische probleem bestond er bijvoorbeeld uit de zijde te construeren van de kubus met dezelfde inhoud als de rechthoekige doos met zijden en . Menaechmus (ca. 350 v.Chr.) beschouwde het probleem meetkundig door de twee kegelsneden en in het vlak met elkaar te snijden
In het latere werk in de Hellenistische tijd (3e eeuw v.Chr.) van Archimedes en Apollonius werden problemen met kegelsneden op meer systematische wijze geanalyseerd, (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 108, 90 waarbij zij al gebruikmaakten van coördinaten De Arabische wiskundigen waren in staat louter door gebruik te maken van algebraïsche middelen bepaalde derdegraadsvergelijkingen op te lossen en de behaalde resultaten vervolgens meetkundig te interpreteren. Dit werd bijvoorbeeld in de 10e eeuw na Chr. door Ibn al-Haytham gedaan (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 193 Vervolgens ontdekte de Perzische wiskundige Omar Khayyám (geboren in 1048) de algemene methode voor het oplossen van derdegraadsvergelijkingen door een parabool te doorsnijden met een cirkel (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 193-195. Elk van deze vroege ontwikkelingen in de algebraïsche meetkunde hield zich bezig met vragen hoe de doorsneden van algebraïsche krommen te vinden en te beschrijven.
Dergelijke technieken om meetkundige constructies toe te passen op algebraïsche problemen werden ook door een aantal Renaissance wiskundigen, zoals Gerolamo Cardano en Niccolò "Tartaglia", overgenomen bij hun studies van de derdegraadsvergelijking. De meetkundige, in plaats van algebraïsche benadering bij constructieproblemen werd voorgestaan door de meeste 16e- en 17e-eeuwse wiskundigen, zoals Blaise Pascal die zich tegen het gebruik van algebraïsche- en analytische methoden in de meetkunde uitsprak. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (deel 1). Oxford University Press. blz. 279. De Franse wiskundigen François Viète en later René Descartes en Pierre de Fermat brachten een revolutie teweeg in de conventionele manier van denken over constructieproblemen. Zij introduceerden de "coördinaten"-meetkunde. Ze waren in de eerste plaats geïnteresseerd in de eigenschappen van algebraïsche krommen, zoals die worden gedefinieerd door diofantische vergelijkingen (in het geval van Fermat), en de algebraïsche herformulering van de klassieke Griekse werken over kegelsneden en kubusvormen (in het geval van Descartes).
In dezelfde periode benaderden Blaise Pascal en Girard Desargues de meetkunde vanuit een ander perspectief. Zij ontwikkelden de synthetische begrippen van de projectieve meetkunde. Pascal en Desargues bestudeerden ook krommen, maar vanuit een zuiver meetkundig gezichtspunt: het analogon van de klassiek Griekse constructie met passer en liniaal. Uiteindelijk won de analytische meetkunde van Descartes en Fermat, dit omdat de 18e eeuw wiskundigen van concrete kwantitatieve instrumenten voorzag die zij nodig hadden om de natuurkundige problemen met behulp van de nieuwe differentiaal- en integraalrekening van Newton en Leibniz te bestuderen. Aan het einde van de 18e eeuw, werd het grootste deel van het algebraïsche karakter van de "coördinaten"-meetkunde overgenomen door de infinitesimaalrekening van Lagrange en Euler.
Negentiende en vroege 20e eeuw Het idee van coördinaten volgens René Descartes staat in de algebraïsche meetkunde centraal, maar de notie van coördinaten heeft beginnend in de vroege 19e eeuw een reeks van opmerkelijke veranderingen ondergaan. Voor die tijd werd ervan uitgegaan dat coördinaten tupels van reële getallen waren, maar dit veranderde toen eerst complexe getallen, en later ook elementen van een willekeurig veld ook aanvaardbaar werden. Homogene coördinaten uit de projectieve meetkunde boden een uitbreiding van de notie van een coördinatenstelsel in een andere richting, en verrijkte de werkingssfeer van de algebraïsche meetkunde. Veel van de ontwikkeling van de algebraïsche meetkunde in de 20e eeuw kwamen tot uiting binnen een abstract algebraïsch raamwerk, waar steeds meer nadruk werd gelegd op 'intrinsieke' eigenschappen van algebraïsche variëteiten, eigenschappen die niet afhankelijk zijn van een bepaalde wijze van inbedding van de variëteit in een ambiente coördinatenruimte; dit komt overeen met parallelle ontwikkelingen in de topologie en de complexe meetkunde.
Er waren twee gelijktijdige 19e-eeuwse ontwikkelingen van de niet-euclidische meetkunde en de Abelse integralen voor nodig om de oude algebraïsche ideeën terug te brengen in de mainstream van de meetkundige wereld. De eerste van deze nieuwe ontwikkelingen werd door Edmond Laguerre en Arthur Cayley opgepakt. Zij probeerden de algemene metrische eigenschappen van projectieve ruimten vast te stellen. Cayley introduceerde het idee van homogene veeltermvormen, en meer specifiek kwadratische vormen over de projectieve ruimte.
Vervolgens bestudeerde Felix Klein de projectieve meetkunde (samen met andere soorten van meetkunde) vanuit het oogpunt dat de meetkunde op een ruimte is gecodeerd in een bepaalde klasse van transformaties op deze ruimte. Tegen het einde van de 19e eeuw bestudeerden projectieve meetkundigen algemene soorten transformaties op figuren in de projectieve ruimte.
In plaats van projectieve lineaire transformaties, die normaal werden gezien als de fundamentele Klein-meetkunde gevend op projectieve ruimte, hielden de projectieve meetkundigen zich ook met hogere graads birationale transformaties bezig. Deze zwakkere notie van congruentie zette leden van de 20e eeuw Italiaanse school van de algebraïsche meetkunde er later toe aan een poging te ondernemen om algebraïsche oppervlakken op en naar ("upto") birationaal isomorfisme te classificeren.
De tweede begin-19e-eeuwse ontwikkeling, die van de Abelse integralen, zou Bernhard Riemann aanzetten tot de ontwikkeling van de Riemann-oppervlakken.
Twintigste eeuw Bartel Leendert van der Waerden, Oscar Zariski, André Weil en anderen probeerden om een strikte basis voor de algebraïsche meetkunde te leggen, dit gebaseerd op de hedendaagse commutatieve algebra, waaronder de waarderingstheorie en de theorie van de idealen.
In de jaren 1950 en 1960 herschikten Jean-Pierre Serre en Alexander Grothendieck deze grondslagen. Een belangrijk onderscheid tussen de klassieke projectieve meetkunde van de 19e eeuw en moderne algebraïsche meetkunde, in de vorm die eraan werd gegeven door Grothendieck en Serre, is dat de klassieke projectieve meetkunde gericht is op de meer meetkundige notie van een punt, terwijl de moderne algebraïsche meetkunde de meer analytische concepten van een reguliere functie en een reguliere afbeelding benadrukt en zich daarbij uitgebreid baseert op de schoventheorie. Een ander belangrijk verschil ligt in de reikwijdte van het onderwerp. Grothendiecks idee van een schema biedt de taal en de hulpmiddelen voor een meetkundige behandeling van willekeurige commutatieve ringen en overbrugt, in het bijzonder, de verschillen tussen de algebraïsche meetkunde en de algebraïsche getaltheorie. Het bewijs van Andrew Wiles van de laatste stelling van Fermat is een voorbeeld van deze aanpak.
André Weil, Grothendieck en Pierre Deligne lieten zien dat de fundamentele ideeën van de topologie van gladde variëteiten diepe analogieën hebben in de algebraïsche meetkunde van eindige velden. Zij maakten hierbij gebruik van de schoventheorie. Later, vanaf ongeveer 1960, en grotendeels aangevoerd door Grothendieck, werd het idee van schema's uitgewerkt, dit in samenhang met de zeer verfijnde apparatus van de homologische technieken. Na een decennium van snelle ontwikkeling stabiliseerde het veld zich in de jaren 1970. Nieuwe toepassingen werden gevonden, zowel in de getaltheorie als ook bij meer klassieke meetkundige vragen over algebraïsche variëteiten en moduli.
Een belangrijke klasse van variëteiten, die niet gemakkelijk direct valt te begrepen uit de definitie van haar vergelijkingen, zijn de abelse variëteiten, eigenlijk projectieve variëteiten, waarvan de punten een abelse groep vormen. Prototypische voorbeelden zijn de, een rijke theorie kennende elliptische krommen. Elliptische krommen waren instrumentaal in het bewijs van de laatste stelling van Fermat en worden tegenwoordig ook gebruikt in de cryptografie, die van elliptische krommen gebruikmaakt.
Terwijl een groot deel van de algebraïsche meetkunde zich bezighoudt met abstracte- en algemene uitspraken over variëteiten, zijn er ook methoden voor de effectieve berekening met concreet gegeven veeltermen ontwikkeld. De belangrijkste is de techniek van Gröbner-basissen, die in alle computeralgebrasystemen worden gebruikt. Op basis van deze methoden kunnen verschillende oplossers alle oplossingen van een stelsel van veeltermvergelijkingen berekenen, waarvan de geassocieerde variëteit een dimensie nul heeft en dus uit een eindig aantal punten bestaat.
Nulpunten van stelsels polynomen De klassieke algebraïsche meetkunde richt zich vooral op de nulpunten van stelsels van polynomen, dus de verzameling van alle punten die voldoen aan een of meer polynoomvergelijkingen. Zo kan de tweedimensionale bol in de driedimensionale euclidische ruimte worden gedefinieerd als een verzameling van alle punten die voldoen aan
De cirkel in in het -vlak met straal 1, kan worden gedefinieerd als de verzameling van alle punten die voldoen aan de twee polynoomvergelijkingen