In de algebraïsche meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, is het Jacobiaanse vermoeden een bekend openstaand probleem over polynomen in meer variabelen. Het vermoeden werd voor het eerst in 1939 opgesteld door de Duitse wiskundige Ott-Heinrich Keller. De Indiase wiskundige Shreeram Abhyankar (1930–2012) gebruikte het Jacobiaanse vermoeden als een voorbeeld van een vraag op het gebied van de algebraïsche meetkunde dat om het te formuleren behalve kennis van de differentiaal- en integraalrekening verder geen andere achtergrondkennis nodig is. Het Jacobiaanse vermoeden is berucht om het grote aantal bewijzen, maar waarin subtiele fouten bleken te zitten. Er waren in 2018 nog geen plausibele claims dat het Jacobiaanse vermoeden was bewezen.. An introduction to the jacobian conjecture, 26 september 2018. Suppose we know that the Jacobian Conjecture holds.
Op 19 juli 2026 maakte de wiskundige Levent Alpöge van de Harvard-universiteit bekend het Jacobiaanse vermoeden te hebben weerlegd. Met behulp van het AI-model Claude Fable 5 van Anthropic vond hij een tegenvoorbeeld van 216 tekens in een driedimensionale ruimte. Hiermee is het vermoeden voor drie of meer variabelen ontkracht, al blijft de versie met twee variabelen theoretisch mogelijk openstaan.
Jacobiaanse determinant Laat een vast geheel getal zijn en beschouw de polynomen in de variabelen met coëfficiënten in een algebraïsch gesloten lichaam . Het is voldoende aan te nemen dat het lichaam van de complexe getallen is. Definieer de functie door:
De determinant van de jacobi-matrix van , aangegeven door , wordt gedefinieerd als de determinant van de –matrix die bestaat uit de partiële afgeleiden van de functies met betrekking tot :
dan is zelf een polynoom in de variabelen .
Formulering De voorwaarde is gerelateerd aan de inverse functiestelling in de multivariabele analyse. Voor gladde functies, dus in het bijzonder voor polynomen, bestaat op elk punt waar niet nul is, een lokale inverse functie van . is algebraïsch gesloten, zodat als een polynoom nul zal zijn voor enige complexe waarden van tenzij het een constante functie is, die ongelijk aan 0 is. Er geldt dat:
Het vermoeden kan worden omgekeerd:
Resultaten Wang bewees in 1980 het Jacobiaanse vermoeden voor polynomen van graad twee. Bass, Connell en Wright lieten in 1982 zien dat het algemene geval volgt uit het speciale geval waar de polynomen van graad drie zijn, meer in het bijzonder van de vorm , waar elke ofwel nul of een derdegraads polynoom is. In dit geval is het hetzelfde dat de jacobi-matrix is te inverteren en nilpotent is. Moh controleerde in 1983 het vermoeden voor polynomen van graad van ten hoogste 100 in twee variabelen. De Bondt en Van den Essen lieten in 2005 zien, dat het zelfs genoeg is om het Jacobiaanse vermoeden te bewijzen in gevallen, waar de jacobi-matrix symmetrisch is.
Het Jacobiaans vermoeden is equivalent aan het vermoeden van Dixmier.
Categorie:Wiskundig vermoeden