In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een lineaire transformatie een lineaire afbeelding van een vectorruimte naar zichzelf.

Eindigdimensionale lineaire transformatie Transformatie als afbeelding van een vectorruimte Een lineaire transformatie wordt vastgelegd door de beelden van een basis en door de daarbij horende matrix.

Voorbeeld De lineaire transformatie van de vectorruimte beeldt de basisvectoren (1,0) en (0,1) op de vectoren (3,2) en (5,4) af. Daarmee is geheel vastgelegd. De matrix van is dan .

Het beeld van bijvoorbeeld de vector heeft de coördinaten: .

Dus is .

Lineaire algebra Een lineaire transformatie kan bijectief zijn. De determinant van de matrix van de transformatie is dan verschillend van 0 en de matrix heeft volle rang, wat onder andere inhoudt dat de kolommen onderling onafhankelijk zijn. De matrix is in dit geval regulier en de kern ervan bestaat alleen uit de nulvector.

Als de transformatie geen inverse heeft, is de determinant van de matrix gelijk aan 0. De rang van de matrix is dan kleiner dan de dimensie van de ruimte, dus zijn de kolommen niet onderling onafhankelijk. De beelden van de basisvectoren spannen dan een deelruimte op van een kleinere dimensie. Er is een deelruimte, de nulruimte of kern van de transformatie, die op de nulvector wordt afgebeeld.

De lineaire afbeeldingen van een vectorruimte vormen een groep, de algemene lineaire groep van die verctorruimte. Die groep wordt gewoonlijk genoteerd als .

Lineaire transformaties van het vlak Lineaire transformaties van de kunnen worden beschreven door een 2×2-matrix . Kiest men de eenheidsvectoren als basis dan zijn de kolommen van , als vector gezien, de beelden van de eenheidsvectoren. Enkele voorbeelden:

Identiteit Ieder punt wordt op zichzelf afgebeeld. .

Rotatie Een rotatie van 90° tegen de klok in:

Een rotatie over een hoek tegen de klok in: .

Spiegeling Spiegeling om de -as: .

Schaling Een homothetie met factor 2: .

Een schaling met een factor in de horizontale richting en een factor in de verticale richting: .

Afschuiving Horizontale afschuiving: .

Samendrukking Horizontaal uitrekken en verticaal samendrukken, met factor : .

Projectie Projectie op de -as:

Bewerkingen Er kunnen net zoals op lineaire afbeeldingen bewerkingen op lineaire transformaties worden uitgevoerd.

Som Als en lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , is hun som , die gedefinieerd is door ,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan de som van de matrices en van en : .

Product met een reëel getal Als een lineaire transformatie is van een vectorruimte en een reëel getal, dan is het scalaire product , dat gedefinieerd is door ,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan het scalaire product van en de matrix van : .

Samenstelling Als en lineaire transformaties zijn van een vectorruimte , dan hun samenstelling , die gedefinieerd is door ,

ook een lineaire transformatie van .

Eindigdimensionale geval:

Ten opzichte van een basis van is de matrix van gelijk aan het matrixproduct van de matrices en van en : .

Eigenwaarden en eigenvectoren Onder de bijectieve transformaties van een lineaire ruimte zijn er die een deelruimte op zichzelf afbeelden. Als eendimensionaal is, heet iedere vector een eigenvector van de transformatie. De eigenvector wordt afgebeeld op een veelvoud van . De factor heet eigenwaarde van de transformatie.

Eigenschappen De eigenvectoren van een lineaire transformatie die behoren bij dezelfde eigenwaarde, vormen samen met de nulvector een deelruimte van de vectorruimte . Die ruimte heet de eigenruimte behorend bij de eigenwaarde. Als een lineaire transformatie bijectief is, is de inverse ook een lineaire transformatie.

Eindigdimensionale geval: Als een lineaire transformatie van een -dimensionale ruimte, verschillende eigenwaarden heeft, vormen de eigenvectoren corresponderend met die eigenwaarden een basis van . Als er in een vectorruimte een basis bestaat met alleen eigenvectoren van een lineaire transformatie, dan is de matrix van die lineaire transformatie, ten opzichte van die basis, een diagonaalmatrix.

Categorie:Lineaire algebra