In de wiskundige groepentheorie is een normaaldeler of normale ondergroep een ondergroep van een groep , waarvan de nevenklassen met elkaar weer een nieuwe groep vormen. Het is kenmerkend voor een normaaldeler dat de linker- en de rechternevenklassen ervan samenvallen. De nevenklassen van de normaaldeler vormen een partitie, dus een disjuncte opdeling, van de groep . De nieuw gecreëerde groep is gedefinieerd als de factorgroep van en .
Definitie Zij een groep en een ondergroep van . Men zegt dat een normaaldeler is van als voor alle elementen
anders gezegd als voor alle en geldt
Dit wordt genoteerd met:
Voorbeelden Van een abelse groep is elke ondergroep normaal, want .
Algemener is het centrum van een groep , dat zijn de elementen die met alle andere elementen van commutatief zijn, een normaaldeler van . Iedere ondergroep van is ook normaal in .
De alternerende groep is in de symmetrische groep op een eindige verzameling met elementen een normaaldeler. Voor is dit bijvoorbeeld de groep met de identiteit en de twee permutaties die de drie elementen verschuiven. De factorgroep , de cyclische groep van twee elementen.
In de groep van de inverteerbare -matrices over een lichaam , is de speciale lineaire groep van de vierkante matrices met determinant 1 een normaaldeler. Dit is er een geval van, dat de determinant als een groepshomomorfisme kan worden opgevat. De kern van een homomorfisme van groepen is gedefinieerd als het inverse beeld van het neutrale element. Het is steeds een normaaldeler.
In de euclidische groep van isometrieën is de groep van alle translaties een normaaldeler. Bij is in een isometriegroep met geen andere translaties dan veelvouden van een bepaalde translatievector, de groep van deze translaties een normaaldeler. Afhankelijk van de strookpatroongroep, waaronder deze isometriegroep valt, zijn er 1, 2 of 4 equivalentieklassen. De ondergroep van directe isometrieën is in een isometriegroep van een euclidische ruimte met niet alleen directe isometrieën een normaaldeler met een factorgroep van twee elementen. De factorgroep bestaat uit de directe en de indirecte isometrieën.
Tegenvoorbeelden In de permutatiegroep is de ondergroep , de cyclische ondergroep van twee elementen, waarvan de verwisseling van 1 en 2 het enige element van de genererende verzameling is, geen normaaldeler, omdat .
De alternerende groep heet enkelvoudig, omdat geen enkele echte normaaldeler heeft, dus geen normaaldelers behalve de triviale groep en zichzelf.
In de lie-groep van de rotaties in vormen de rotaties om de -as een ondergroep die geen normaaldeler is. De lie-groep is enkelvoudig, omdat geen echte lie-ondergroepen heeft die een normaaldeler zijn.
Normalisator De normalisator van een ondergroep van de groep is gedefinieerd als
Het is de grootste ondergroep van waarin nog normaal is.
Categorie:Groepentheorie