De logistische functie, zo genoemd door de Belgische wiskundige Pierre-François Verhulst, beschrijft het verloop van de omvang van een populatie als functie van de tijd , als de verandering van de populatie-omvang zowel evenredig is: met de huidige omvang van de populatie als met de nog voorhanden "groeiruimte" ,
waarin de maximale omvang is die de populatie kan bereiken.
Deze eisen leiden tot de differentiaalvergelijking:
De oplossing daarvan is:
die door scheiding van variabelen gevonden kan worden.
De grafiek van deze functie heeft een S-vorm (sigmoïde). Deze vorm laat zich als volgt interpreteren: In het begin ( klein) stijgt de populatie-omvang langzaam, omdat het aantal individuen nog laag is. Aan het eind ( groot), stijgt de populatie-omvang ook nog maar langzaam en nadert asymptotisch het maximum , omdat dan de begrenzing van de omvang de remmende factor is. In het begin heeft exponentiële groei de overhand, op het einde exponentiële krimp. Halverwege is er constante groei: als de populatiegrootte de helft van het maximum bereikt heeft, is de stijging het grootst.
Oplossing De differentiaalvergelijking
gaat door scheiding van variabelen over in:
Door integratie en breuksplitsing volgt:
zodat:
Daaruit volgt:
De integratieconstante kan uitgedrukt worden in de populatie-omvang op het tijdstip 0:
Toepassing Logistische groei kan als model gebruikt worden voor bacteriekolonies en muizenpopulaties waarvan de populatie-omvang begrensd wordt door de beperkte aanwezigheid van voedsel, hoewel daar ook de Gompertz-curve gebruikt wordt.
Zie ook Logistische verdeling
Categorie:Wiskundige functie Categorie:Systeemtheorie Categorie:Statistiek